数式による補足1) Capital Asset Pricing Model

CAPM(Capital Asset Pricing Model)では、個々のリスクの単位リスクあたりのプレミアムは、市場リスクのプレミアムと、両者の相関係数との積として表現される

(1) {E(ri) - rf}/σi = ρim{E(rm) - rf}/σm

ここでβi

(2) βi = Cov(ri,rm)/Var(rm) = ρimσim

とすれば、(1)と(2)により、個々のリスクにかかる期待リターンE(ri)は、無リスク金利rfと、市場リスクとの関係によって表現されるリスク・プレミアムとで構成される

(3) E(ri) = rf + βi{E(rm) - rf}
posted by equilibrium at 2003-01-01 | [草稿]補遺

数式による補足2) 3つのポートフォリオ

Weqを均衡ポートフォリオ、リスク資産にかかるリターンの共分散をΣ、投資家の平均的なリスク回避度をδとしたとき、期待リターンにかかるCAPMによる事前確率を

(1) μ = δΣWeq + ε, ε~N(0,τΣ)

KxN行列PとK次元ベクトルQで表現される投資家の見通しを

(2) Pμ = Q + ε, ε~N(0,Ω)

とすれば、(1)と(2)により、推定される期待リターンは

(3) E(μ) = [(τΣ)-1 + PTΩ-1P]-1[δ/τWeq + PTΩ-1Q]

一方で、投資家の効用関数は、負債ポートフォリオをWliabとしたとき

(4) (W-Wliab)TE(μ) - δ/2(W-Wliab)TΣ(W-Wliab)

特段の制約がないとき、これを最大化するWは

(5) W = Wliab + (δΣ)-1E(μ)

であり、(3)と合わせて

(6) W = Wliab + Weq + PT[Ω/τ + PΣPT]-1[Q/δ - PΣWeq]
posted by equilibrium at 2003-02-01 | [草稿]補遺
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